Chapitre 1 - Equations et Inéquations

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'étude de signe des expressions de la forme $(a x + b)(c x + d)$, $\frac{a x+b}{m x + p}$ et $a x^2 + b x + c$ par rapport à $x$.

ISigne d'un produit (ou d'un quotient) de termes de degré 1

L'étude de signe de produit ou de quotient de termes de degré 1 repose sur les deux propriétés suivantes :

Le signe du produit de deux réels de même signe est positif
Le signe du produit de deux réels de signes différents est négatif

La fonction qui à $x$ associe $a x + b$ est :

positive si $ x \geq \frac{-b}{a} $
negative si $ x \leq \frac{-b}{a} $

Cette propriété se résume à ce tableau de signes : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & \frac{-b}{a} & & +\infty\\\hline f (x) & &\text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \end{array} $$

Etudier le signe de $(2 x + 1)(-3 x - 6)$ pour $x \in \mathbb{R} $
Etudier le signe de $\frac{x - 1}{x + 1}$ pour $x \in \mathbb{R}\backslash \{-1\} $

On traite le deuxième exemple :

On commence par étudier le signe du numérateur $x - 1$ qui s'annule en $1$ $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & 1 & & +\infty\\\hline x-1 & & - & 0 & + & \\ \end{array} $$
Puis, on étudie le signe du dénominateur $x + 1$ qui s'annule en $-1$ $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & -1 & & +\infty\\\hline x+1 & & - & 0 & + & \\ \end{array} $$
On place les deux tableaux l'un au dessus de l'autre afin de comparer les signes du quotient dans un troisième tableau. Attention, $-1$ est une valeur interdite pour le dénominateur : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\\hline x-1 & & - & 0 & + & & + & \\ \hline x+1 & & - & & - & 0 & + & \\ \hline \frac{x+1}{x-1} & & + & 0 & - & || & + & \\ \end{array} $$

IISecond degré

1Equations

On considère l'équation $a x^2 + b x + c = 0$ où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a\neq0$. On rappelle la formule du discriminant $\Delta = b^2 - 4 a c$ :

Si $%Delta \gt 0$ l'équation admet deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 a}$
Si $%Delta \gt 0$ l'équation n'admet pas de racine réelle
Si $%Delta = 0$l'équation adment une racine unique $x_0 = \frac{-b }{2 a}$

Cela se traduit par les trois représentations graphiques suivantes [sur lesquelles, on a $a\gt0$] :

Cas $\Delta \lt 0$

Cas $\Delta \gt 0$

Cas $\Delta = 0$

Lorsque $a\lt0$, les trois représentations se retrouvent "la tête en bas".

2Inéquations

On étudie le signe de $f (x)=a x^2 + b x + c$ :

Si $\Delta \lt 0$ : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & +\infty\\\hline f (x) & & \text{signe de } a & \\ \end{array} $$
Si $\Delta \gt 0$, $x_1$ et $x_2$ les deux racines : $$ \begin{array}{c|lcccccr|} x &-\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty\\\hline f (x) & &\text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \end{array} $$
Si $\Delta = 0$, $x_0$ la seule racine : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & x_0 & & +\infty\\\hline f (x) & &\text{signe de } a & 0 & \text{signe de } a & \\ \end{array} $$

Résoudre les inéquations suivantes :

$x^2+x-2 \leq 0$
$3 x^2 - 6 x + 3 \gt 0$
$(4-x)(x^2 + x + 1)\geq 0 $